数据、数字与几何：关于数值方法、机器学习和评估的三个教程

arXiv:2610.07220v1 公告类型：新 摘要：我们介绍三个面向数学研究的数值计算与机器学习实践教程，这些教程为2026年4月在 Banff International Research Station 举办的 DANGER: Data, Numbers, and Geometry 研讨会而编写。第一个教程从微分形式的逐点求值出发，利用外微分的通量表达，发展一种外微分法的数值方法。欧氏空间和球面上的示例展示了几何恒等式、拓扑特征，以及近似和有限精度的影响。第二个教程通过涉及椭圆曲线、箭图和边值问题的示例，考察数学结构如何指导神经网络设计。教程探讨了架构选择如何影响学习效果，并使用区间算术界定训练网络在整个边值问题区间上的残差。第三个教程讨论机器学习结果的评估与呈现，涵盖性能指标、统计不确定性、分类阈值、受试者工作特征曲线以及易于理解的图表设计。在整个教程中，我们将数值一致性、预测准确性、结构性保证和严格界限区分为不同形式的证据。每篇内容均可独立阅读，并配有笔记本和练习，帮助读者复现实例，并将这些方法调整应用于其他问题。