分离是一种 Riesz 能量：ICA 需要多少个环境？

arXiv:2611.06228v1 公告类型：新论文 摘要：当所有独立分量均为高斯分量时，还能恢复它们吗？如果它们的方差随环境变化，答案是肯定的；但随着分量数 $d$ 增长，需要多少个环境、多少个样本？针对 $K$ 个协方差矩阵的联合对角化，我们回答了这两个问题。每个分量都有一个特征向量，由其在各环境中的方差构成。分离分量 $j$ 的代价是该特征向量的 Riesz 2-能量 $E_j$，即对其与其他各分量之间的成对 Fisher 信息的倒数求和。对于高斯源，在任意 $n$ 和 $d$ 下，$O(d)$ 中的任何估计量都无法优于 $cE_j/(n+E_j)$；而当样本量超过一个显式阈值时，对于任意混合，谱估计量都能在常数因子范围内达到 $E_j/n$，且无需已知这些特征向量（但需给定成对信息的下界）。由于特征向量位于 $K-1$ 维空间中，该速率遵循一条维数定律：对于分布充分分散的环境，当 $K=2$、$3$ 和 $K\ge4$ 时，速率分别为 $d^2/n$、$d\log d/n$ 和 $d/n$。关键在于特征向量所张成空间的维数，而非其数量；$\log d$ 个精心设计的环境即可使 $d\log d$ 个样本足够。相比之下，将协方差矩阵投影到单个线性组合上，其一阶代价为 $d^2/n$。在最高达 $d=1000$ 的模拟中，这些预测均得到验证；当 $n/d$ 达到数百量级时，$K\ge4$ 的联合对角化即可达到该速率。在任务态 fMRI 数据上，该能量能够指出哪些分量难以分离。