检测到偏移还不够：线性表征修复的精确极小极大界限

arXiv:2610.08069v1 公告类型：新 摘要：两个数据源之间的均值偏移可能很容易检测，却很难在不大幅改变其表征的情况下去除。我们将其去除表述为一个统计决策问题：根据 $\mathbb{R}^d$ 中成对校准测量之间的含噪差异，学习一个线性映射，在严格的失真预算下同时应用于两个数据源，使其在新数据上残留的偏移尽可能少。我们推导出所有此类映射的精确有限样本极小极大风险，即 $(d-k) \mathbb{E}[1/(d+2J)]$，其中 $J\sim\mathrm{Pois}(\kappa/2)$；预算允许删除 $k$ 个方向，而 $\kappa$ 是校准信噪比。将均值校准差异所在的方向投影出去即可达到该风险上界，且无需知道 $\kappa$ 或噪声尺度。这揭示了一个检测—修复鸿沟：检测偏移只需 $\kappa\gg\sqrt d$，而在恒定失真下去除其中固定比例的偏移则需要 $\kappa\asymp d$，这与估计其方向的要求相同。标准线性概念擦除器（MP、SAL、LEACE）都会去除相同的校准差异，因此，该公式可以在拟合前精确给出它们在新数据上会残留多少偏移，以及目标任务需要多少校准数据。该结论具有稳健性：对于非高斯共享内容，配对仍使结论保持精确；对于各向异性噪声，投影仍保有其保证；选择性弃权也无法弥合这一鸿沟。在配对的临床和可穿戴睡眠 EEG 数据上，参与者之间的差异充当校准噪声；该公式能够预测新参与者身上残留的设备偏移，并表明每人增加更多记录很快就不再有帮助。总体而言，这些结果可以判断：一个效果不佳的校正究竟需要更好的方法、更多记录，还是更多参与者。