S$^{2}$-PINN：随机可分离物理信息神经网络

arXiv:2610.03303v1 发布类型：新提交 摘要：随机偏微分方程（PDE）的不确定性量化（UQ）在计算科学与工程中无处不在。然而，针对这类问题的经典谱求解器面临维数灾难，而现有的神经网络求解器通常忽略了随机结构，而正是这种结构使矩和校准变得易于处理。我们提出了一种随机可分离物理信息神经网络，称为 S$^{2}$-PINN。该网络通过可学习的高斯空间字典、傅里叶时间特征以及广义多项式混沌（gPC）随机基来表示随机偏微分方程的解 $u(t,\mathbf{x},\mathbf{Z})$，并由低秩 Canonical Polyadic（CP）张量分解核心将三者耦合起来。该方法采用强形式残差损失与 gPC 投影残差损失相结合的混合损失进行训练。我们的理论分析表明，在温和条件下，可分离函数类在 $L^2$ 中稠密，并且投影残差恰好对应于随机 Galerkin 约束。此外，我们证明了小批量投影系数与 gPC 模态数量呈对数依赖关系，并且正交性惩罚能够控制所学习空间字典的条件数。通过四个构造的随机偏微分方程基准测试，我们表明，与九种基线方法相比，S$^{2}$-PINN 在均值和方差精度以及校准方面均表现更优，同时使用的参数显著更少。在非构造的 Poisson 和 Darcy 问题、一个随机 Navier--Stokes 问题、高随机维度下的扩散尺度研究以及两个随机逆问题上的进一步评估，揭示了所提出结构的泛化能力。综上，这些结果表明，随机可分离性是物理信息神经网络不确定性量化的一项有效设计原则。实验代码可在 https://github.com/DMax1314/s2pinn 找到。