受约束的概率数值方法：用于带线性不等式约束的线性偏微分方程的 Gaussian Process 求解器

arXiv:2610.13804v1 公告类型：交叉 摘要：线性偏微分方程（PDE）的 Gaussian Process 求解器返回的是后验分布而非点估计，但它们仅基于等式信息进行条件化：PDE 残差、边界数据和测量值。许多我们关注的解还满足不等式约束，包括非负性、单调性和无套利性，而仅通过等式条件化无法强制满足这些约束。我们证明，对 Gaussian Process 先验同时施加线性等式观测和有限维不等式事件的条件化，在解空间上的 Borel 测度意义下，等价于依次进行条件化。因此，物理信息后验可以作为虚拟点处不等式更新的有效先验。组合后的分布虽为非高斯分布，但可以通过截断高斯矩进行计算，且无论 PDE 条件化还是不等式更新都无需修改。我们在 Poisson 基准测试、期权价格曲面和空气质量场上评估了该构造。在边界数据不完整的情况下，单调性约束使二维 Poisson 重建的误差降低了 $63\%$。在一条删减至仅保留 20 个报价的真实 S&P 500 期权链上，无套利约束使留出外推误差降低了 $22\%$，并将日历套利率从 $10\%$ 降至 $1\%$。在四个真实空气质量快照上，在监测点数量最少时，非负性使基于高斯矩的负值尾部代理指标降低了 $74\%$。不同数据情形下，平均准确率和约束诊断指标的变化各不相同。在等式后验下，带噪声的虚拟约束事件的概率衡量了更新前与指定边界的一致程度。该构造将可接受性从后处理步骤转变为概率 PDE 求解器中的条件化信息。