高斯测度之间的最优传输与对齐

arXiv:2512.03579v2 公告类型：替换 摘要：最优传输（OT）与 Gromov-Wasserstein（GW）对齐为比较、变换和聚合异构数据集提供了可解释的几何框架，这些任务在数据科学和机器学习中普遍存在。由于这些框架的计算成本高昂，大规模应用通常依赖于二次代价下高斯分布的闭式解。本文全面研究了高斯测度的二次代价 OT 与内积 GW（IGW）对齐，填补了文献中的若干空白，以拓展其适用范围。首先，我们处理了可分 Hilbert 空间上非中心化高斯测度之间 IGW 对齐这一尚未解决的问题，通过对等距算子和余等距算子（在有限维情形下为正交矩阵）进行二次优化，给出了精确的变分刻画，并推导出紧致的解析上下界。如果至少有一个高斯测度是中心化的，则解可简化为完全闭式的表达式；我们进一步将其扩展为中心化高斯测度之间 IGW 重心的解析解。我们还将具有成对二次代价的高斯多边际 OT 化归为一个可处理的优化问题，并证明该问题的每个二阶驻点都是全局最优点。为展示其实际用途，我们比较了已训练的语言模型蒸馏模型的嵌入分布，并利用合成用户文本嵌入的协方差谱对这些用户进行聚类。