球对称分布的最优随机量化器

arXiv:2610.11772v1 公告类型：cross 摘要：Zador 的著名定理是最优量化的基石：它既确立了 $R^d$ 中最优 $n$ 点量化器经验分布的弱极限，也确立了相关 $L_s$ 均值量化误差的衰减率。然而，在高维情形下，观测到这种渐近行为需要天文数字般庞大的样本量。我们证明，对于球对称目标分布，在所有球对称分布上进行优化是一个凸问题，并推导出一个等价性定理，该定理既刻画了全局最优性，又给出了构造性算法。我们表明，对于适中的 $n$，在精心选择半径 $R$ 的球面上均匀分布的随机量化器表现出色；在广泛的 $n$ 取值范围内，数值结果证实它们在所有随机量化器中达到最优。其期望失真具有显式积分表示，可计算至任意精度；我们还证明了随机量化器之间的集中性：当 $d$ 固定且 $n\to\infty$ 时，失真方差趋于零。当 $s=2$ 时，最优半径及其对应的最小期望失真都可以写出精确表达式。对于一般的 $s$，最优半径可以高效确定；当 $n$ 随 $d$ 增长时，极值理论可提供有用的近似。根据这种增长速率，$R$ 要么收敛于零，要么趋近于一个与 $s$ 无关的正极限。