从全局收敛到尾部收敛：$\alpha$-稳定得分生成模型的动力学

arXiv:2610.19773v1 公告类型：新稿 摘要：由 $\alpha$-稳定 Lévy 过程驱动的得分生成模型已被提出，作为布朗扩散模型的替代方案，实证结果表明其能够改善采样并更好地建模重尾数据。然而，这些模型的理论保证仍然有限。我们针对保持尺度的 $\alpha$-稳定生成动力学建立了非渐近收敛分析，涵盖紧支撑目标分布和幂律目标分布。我们在 p-Wasserstein 距离下量化了提前停止、初始化、得分近似和时间离散化的影响，并证明初始化误差呈指数衰减。与布朗动力学的比较表明，仅凭全局 Wasserstein 收敛性无法从根本上区分这两类模型：在二者共同适用的重尾目标分布类别上，两者的初始化误差均随前向时间跨度呈指数衰减。鲜明的差异反而出现在尾部。在任意正的生成时间，稳定动力学都会产生指数为 $\alpha$ 的幂律尾部，而布朗动力学仍保持轻尾。对于尾指数为 $\nu$ 的目标分布，当且仅当 $\alpha$=$\nu$ 时，才可能实现渐近正确的极端分位数标度。这些结果表明，尾指数匹配是稳定生成模型能够捕捉极端事件背后具有理论依据的机制。