非线性算子及其导数的通用逼近

arXiv:2605.15285v4 发布类型：替换 摘要：我们证明，通过算子学习（OL）架构对非线性算子及其导数进行通用逼近（UA），在 ${C^k_F}$（Fréchet）紧开拓扑和 Fréchet--Sobolev 范数（即算子范数）下是不可行的。我们通过在自然的较弱拓扑中恢复 UA 来解决这一障碍：${C^k_B}$（Bastiani）紧开拓扑，以及针对一般有限输入测度的（新颖的）加权 Bastiani--Sobolev 空间。在 Banach 空间的完全一般情形下，这些结果首次将 [Hornik, 1991] 中相应的经典重要结果完整推广到无穷维空间和 OL。基于我们的通用逼近定理（UATs），我们在 DIOL 中提出 Bastiani--Sobolev 训练。这些结果开启了在一般 Banach 空间上进行导数信息算子学习（DIOL）（即学习非线性算子及其导数）的研究。我们通过编码器-解码器架构对非线性算子进行参数化；这类架构是在一般 Banach 空间中可用的经典 OL 架构，包括 DeepONets、Deep-H-ONets 和 PCA-Nets，我们的 UATs 均适用于它们。一个关键的数学结果是，我们新提出的加权 Bastiani--Sobolev 空间推广了 Banach 空间上的经典高斯（Malliavin）Sobolev 空间。DIOL 和我们的 UATs 可应用的开放前沿领域包括：OL 中的高阶精度；通过 Learn-Then-Optimize 在 Banach 空间中进行快速约束优化（例如偏微分方程的最优控制、逆问题）；无穷维偏微分方程的数值方法（例如，通过 Optimize-Then-Learn 处理无穷维最优控制所得到的 Banach 空间上的 HJB 偏微分方程，包括偏微分方程、SPDE、路径依赖系统、部分观测系统和均值场控制的最优控制）。