分数阶更优：神经算子学习中的可学习导数阶数

arXiv:2610.20363v1 公告类型：新稿 摘要：神经算子学习函数空间之间的映射，从而能够快速提供偏微分方程的代理解。尽管架构种类繁多，这些方法通常采用相同的输入表示：原始坐标—数值对 $(x, u(x))$。我们探讨，与偏微分方程的微分结构相匹配的输入是否能够改善学习。通过对温和解进行 Picard 迭代，我们表明，输入的导数显式出现在解算子中，这意味着提供导数特征应能减轻网络隐式求导的负担。我们证明了这一直觉：提供导数特征可将逼近界从 $O(W^{-(s-m)/d})$ 改善至 $O(W^{-s/d})$，其中 $W$ 为参数数量，$s$ 为输入正则性，$m$ 为偏微分方程的阶数，$d$ 为空间维数。然而，我们的核心发现出人意料：最优导数阶数 $\beta^*$ 严格小于偏微分方程阶数 $m$。这一差距源于谱空间中的偏差—方差权衡，我们以闭式形式刻画了这种权衡。从数据中学习 $\beta$ 可实现自动谱正则化。我们提出了用于导数增强神经算子的 $\partial$-NO（del-NO），这是一种与架构无关的增强方法，可为任意神经算子骨干网络提供可学习的分数阶导数特征。在不同基准问题和架构上，$\partial$-NO 均能稳定提升预测精度，而学得的阶数则反映了在噪声和有限样本约束调节下对已知物理规律的表征。