用于时变偏微分方程模型降阶的无网格潜在动力学模型

arXiv:2610.41043v1 公告类型：交叉收录 摘要：潜在动力学学习已成为时变参数化偏微分方程（PDEs）模型降阶（MOR）的一种重要方法。传统的基于自编码器的方法在训练和推理过程中均内在地依赖固定的空间离散化，这推动了无网格方法的发展。在这一背景下，条件化提供了一种通过空间连续函数表示时间演化的自然机制，从而实现与网格无关的潜在动力学模型（LDMs）。本研究基于神经场（NeFs）中的条件化，为与网格无关的 LDMs 提出了一个统一的数学框架。利用条件化机制的分类（弱条件化、强条件化和纯条件化），我们将无网格 LDMs 表述为以潜在状态为条件的 NeFs。我们为这类模型建立了通用逼近定理（UAT），并通过推导不同条件化机制的 Lipschitz 界来分析其稳定性。分析揭示了表达能力与稳定性之间的权衡，解释了为什么表达能力更强的条件化机制尽管具有更高的表示能力，却可能在时间外推过程中导致性能下降。最后，我们在空间离散化的连续极限下，对无网格架构与基于网格的架构进行了全面比较，表明与基于网格的模型不同，无网格模型能够保证与网格无关的 Lipschitz 界。我们在 Burgers 方程、Navier–Stokes 圆柱绕流和线性平流问题上的实验表明，无网格 LDMs 仅需使用基于网格的同类模型 2% 的可训练参数，即可达到相当或更高的预测精度，并且在不同空间离散化下误差几乎保持不变。