超越对角状态空间模型：精确的非阿贝尔群跟踪、可解性障碍与几何物理流形

arXiv:2610.00329v1 公告类型：新增 摘要：选择性状态空间模型（SSM），例如 Mamba、S4D 和 LRU，受到转移矩阵可交换性（A_t A_t' = A_t' A_t）以及可解仿射变换群（Aff_D，导出长度 <= 2）的限制。因此，在 A_5 等不可解单群上，堆叠式多层对角网络面临严重的优化退化问题，这是由于模拟非阿贝尔换位子所需的电路仿真深度呈指数增长。我们提出 Non-Commutative State Space Models（NC-SSM）、其保持实正交性的对应模型 SO(3)-SSM，以及任意维度的 Cayley-SSM，将状态转移提升至紧致李群 SU(2)、SO(3) 和 SO(N)。借助闭式 Euler-Rodrigues 映射与有理 Cayley 变换，NC-SSM 实现了精确的保持范数等距性（||U_t|| = 1）。我们引入纯 Hopf 纤维化 Bloch 射影读出（S^3/{+-1} =~ S^2 =~ SO(3)）以消除符号歧义，引入真正的四元数并行前缀扫描（T=2048 时加速 9.06 倍），并采用 Identity-Gated Lie SSMs 消除稀疏语法中的相位漂移。在涵盖 14 种实验设置的大规模基准测试中，我们发现：（1）NC-SSM 在 S_3、D_4、Q_8 和单群 A_5 上实现 100% 的跟踪准确率，而 3 层深度对角基线模型降至 6.60%（p = 8.81e-4）；（2）Cayley-SO(5)-SSM 突破了 Klein 于 1884 年在对称群 S_5 上设定的上限（50.92%，对比对角模型的 5.25%，p = 0.0015），并且相比 SO(3) 实现了 7.8 倍的方差降低；（3）SO(3)-SSM 在 300 步内保持黎曼流形结构（漂移 < 3.12e-6，优势超过 580,000 倍），实现了 0.04 度的航位推算误差以及主动切空间去噪；（4）NC-SSM 在 Dyck-2 上达到 74.36%，在深层 AST 作用域跟踪上达到 30.26%（p = 0.0081）；（5）消融实验确认，严格等距性对于无损的长程联想记忆在数学上是必要的。