PE-EK-PINN：采用演化核的物理嵌入，用于可扩展的物理信息神经网络

物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks，PINNs）将控制方程嵌入深度学习，但仅通过损失残差对其进行约束，使高度振荡的波动行为仍需依靠优化过程自行发现。因此，那些在标准构造的 Helmholtz 基准问题上能够达到低于 $10^{-3}$ 相对 $L_2$ 误差的方法，在涉及奇异激励、吸收边界以及跨越数十个波长的波场的实际辐射问题中可能会失效。架构层面的物理嵌入通过将场分解为解析推导的振荡核和可学习的包络，缓解了这一局限。然而，核字典必须手动构建，并且其规模随基本单元数量增长；对于天线阵列和超表面等具有层次结构的系统，随着深度增加，其规模呈指数增长。我们提出 PE-EK-PINN（Physics Embedded with Evolving Kernels），将物理核视为可复用的学习表示，而非固定的解析输入。一个已经收敛的子系统场会被冻结并提升为演化核，其变换副本可被重复用于表示更高层级的配置，而无需推导新的控制方程。由此形成的层次结构使活跃核的峰值数量与系统规模无关，并将累计训练成本从 $O(N)$ 降低至 $O(\log N)$。在偶极子阵列、复合线源几何结构和十字阵列上的实验表明，该方法在实现显著降低训练成本的同时，还能达到更低或相当的相对 $L_2$ 误差。一个值得注意的例子是，PE-EK-PINN 求解 $256$ 偶极子阵列的速度比直接使用 PE-PINN 快 30 倍以上。