用于可解释算子学习的低秩 Kolmogorov-Arnold 生成元流

arXiv:2610.13028v1 公告类型：新论文 摘要：从数据中学习物理定律的神经算子应当能够泛化到训练分布之外，并以闭式形式呈现所学定律。Kolmogorov-Arnold 神经算子通过学习覆盖所有位置和频率的稠密伪微分符号，在位置依赖动力学中实现了这两个目标，但其计算成本随分辨率的平方增长，且闭式表达式必须手动提取。这种稠密符号并无必要：有限阶变系数微分算子的符号，其分离秩以系数函数的数量为上界，与分辨率无关；而该网络在其自身基准测试中学到的符号的秩仅为二。我们提出 Kolmogorov-Arnold flow（KAFlow），将物理算子的生成元学习为由一元 Kolmogorov-Arnold 函数构成的低秩符号，通过固定这些函数的规范，使每一项都有唯一的归属，使用精确指数积分器对动力学进行积分，并自动提炼其闭式表达式。在 Kolmogorov-Arnold 神经算子的合成基准测试中，KAFlow 将分布外损失降至原来的 1/3.4 至 1/11，无需符号模板即可将每个系数的恢复误差控制在 10^-4 以内，达到数据的精度极限。在长时域量子动力学中，它将量子态的不保真度最多降低 6 个数量级；即使仅使用位置和动量测量结果进行训练，也能将其降至原来的 1/30。KAFlow 学习变阶分数阶算子的精度还比现有算子网络高 15 倍，并能发现稀疏回归无法识别的非局域、分数阶和非多项式色散关系。