使用 Flow Charts 在黎曼流形上学习正规坐标

arXiv:2610.28302v1 公告类型：新 摘要：黎曼流形是处理具有非欧几里得结构问题的强大模型。近年来，几何机器学习领域的研究重点一直是训练深度神经网络，从高维数据中学习黎曼度量。然而，许多几何算法需要反复计算指数映射和对数映射，而其较高的计算成本限制了实际应用中所学习黎曼流形的实用性。我们提出通过训练一种称为 flow chart 的条件可逆神经网络，来近似给定黎曼流形上各点附近的正规坐标，从而解决这一成本问题。借助这一方法，可以在模型学习到的坐标空间中，通过快速的欧几里得运算近似指数映射和对数映射。我们的主要贡献是一种用于训练 flow chart 的高效损失函数，该函数非负，并且在适当的定义域假设下，当且仅当该图是正规图时取零。在十六种合成几何和源自数据的几何上，flow chart 在对数映射估计方面具有与专用神经测地线插值器相当的性能，同时还能够估计指数映射。在预训练后，在对数映射估计误差相当的情况下，flow chart 相较于数值基线可实现 60–70 倍的中位加速，其学习到的坐标还能提高数值测地线求解器的精度。