群不变谱嵌入

arXiv:2607.08987v2 公告类型：替换 摘要：谱嵌入方法广泛用于对具有内在低维结构的高维数据集进行降维和聚类。尽管许多具有实际应用价值的数据集在旋转等对称变换下表现出不变性，标准谱嵌入方法却未考虑这一点，而是将具有对称关系的数据点视为彼此无关。我们针对这一问题的方法，是将对称性直接纳入谱嵌入所使用的相似性核中。我们分析了具有黎曼数据流形 $M$ 的情形，其中的对称性由紧李群~$G$ 给出，并证明在适当条件下，由三类不变核构造的图拉普拉斯算子逐点收敛于商空间 $M/G$ 上的显式二阶微分算子。我们的分析表明，该方法具有更高的收敛速率，因为有效维数会根据群的维数而降低。我们在具有 $\mathrm{SO}(2)$ 或 $\mathrm{SO}(3)$ 对称性的数据集上验证了该方法，并表明 $G$-不变谱嵌入能够恢复数据的内在几何结构；相比之下，即使在数据量趋于无穷时，标准谱嵌入也无法做到这一点。