PTNO：使用带噪声的蒙特卡洛估计训练粒子输运问题的神经算子

多重散射下的粒子输运是辐射传输和等离子体物理学的核心问题，但高保真蒙特卡洛（MC）模拟必须跟踪数量多到难以承受的粒子。基于学习的替代模型可以摊销这一成本，但通常需要使用昂贵且充分收敛的 MC 解进行训练。我们提出 Particle Transport Neural Operator（PTNO），这是一种直接从低成本、带噪声的 MC 标签中学习粒子输运替代模型的神经算子。这类标签带来两个挑战：（1）高方差会使标准监督学习不稳定；（2）高动态范围（HDR）跨越多个数量级。针对第一个挑战，我们从许多配置的带噪声标签中学习解算子，从而摊销 MC 成本，并泛化到未见过的配置。由于 MC 标签是无偏的，我们证明，在这些标签上计算的平方损失与在收敛解上计算的损失具有相同的最小化解；此外，我们针对训练场景数 $M$、每次渲染的 MC 样本数 $N$ 以及每个场景的独立渲染次数 $K$ 进行的预算分配研究表明，使用更多带噪声场景的效果优于使用更少的收敛场景。针对第二个挑战，诸如对数这样的非线性变换会使带噪声监督产生偏差。为此，PTNO 将标签保留在物理空间中，并通过使用 softplus 输出层来强制保证正值，该输出层能够有效表示较小数值。我们进一步采用逐点相对 $L_2$ 损失（PRelL2）进行训练；PRelL2 是 HDR 去噪和神经渲染中使用的停止梯度相对损失，它用停止梯度的预测值而非带噪声标签对每个残差进行归一化。我们在聚变反应堆中的中子输运和参与介质中的辐射传输问题上验证了 PTNO。在两个中子学任务中，在相同 CPU 上，PTNO 的速度比收敛的 MC 快 $10^4$-$10^5\times$；在精度相当的情况下，其成本比 MC 低 $10^3$-$10^5\times$。在两个辐射传输任务中，在精度相当的情况下，MC 的成本是 PTNO 的 $0.8$-$11\times$。